Voir le sujet précédentAller en basVoir le sujet suivant
John
John
Médiateur

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par John Ven 25 Juil 2014 - 13:44
Une vidéo connaît en ce moment un grand succès sur le net :



Beaucoup y voient une illusion d'optique. Est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

_________________
En achetant des articles au lien ci-dessous, vous nous aidez, sans frais, à gérer le forum. Merci !


"Qui a construit Thèbes aux sept portes ? Dans les livres, on donne les noms des Rois. Les Rois ont-ils traîné les blocs de pierre ? [...] Quand la Muraille de Chine fut terminée, Où allèrent ce soir-là les maçons ?" (Brecht)
"La nostalgie, c'est plus ce que c'était" (Simone Signoret)
Gryphe
Gryphe
Médiateur

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Gryphe Ven 25 Juil 2014 - 13:50
Magnifique !  cheers 
avatar
User17706
Bon génie

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par User17706 Ven 25 Juil 2014 - 14:35
C'est très joli mais y a-t-il quelque chose à expliquer au-delà de ce que montre déjà la vidéo? Smile
John
John
Médiateur

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par John Ven 25 Juil 2014 - 16:20
Oui, car je pense qu'on peut démontrer que les points, étant donné leur situation sur chaque diamètre, forment un octogone régulier (et il me semble que les sommets d'un octogone régulier sont toujours inscrits dans un cercle).

_________________
En achetant des articles au lien ci-dessous, vous nous aidez, sans frais, à gérer le forum. Merci !


"Qui a construit Thèbes aux sept portes ? Dans les livres, on donne les noms des Rois. Les Rois ont-ils traîné les blocs de pierre ? [...] Quand la Muraille de Chine fut terminée, Où allèrent ce soir-là les maçons ?" (Brecht)
"La nostalgie, c'est plus ce que c'était" (Simone Signoret)
avatar
User17706
Bon génie

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par User17706 Ven 25 Juil 2014 - 16:28
Plus généralement même, tout polygone régulier est inscrit dans un cercle oui !

Le tout ensuite consiste à s'assurer qu'ils bougent de la même façon (au même rythme: je pense que c'est celui d'une pastille sur une roue de vélo qu'on regarderait de face et qui tournerait à vitesse constante) et de faire partir chaque bille au bon moment.
avatar
cassoulet
Niveau 3

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par cassoulet Ven 25 Juil 2014 - 17:00
Ca n'a rien de magique, ni de "crazy".
La clé tient à deux points :
le cercle intérieur a un rayon moitié du grand cercle
la vitesse de rotation du centre du cercle intérieur est la même que celle de ce dit cercle.
Ensuite, un peu de changement de repère et de trigonométrie et ça marche.
avatar
FD
Niveau 7

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par FD Sam 26 Juil 2014 - 2:12
La vidéo est faite en partant des cercles, pas des diamètres : un point fixe sur un cercle de rayon r roulant sans glisser à l’intérieur d’un cercle de rayon 2r décrit un diamètre de ce dernier. Ils ont choisi les diamètres correspondant à des points bien choisis du cercle intérieur.

Pour la démonstration :
Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Hire11
On définit le point M comme l’intersection du diamètre [AC] et du cercle vert. L’arc AB mesure 2rα, l’arc MB mesure rβ, et par le théorème de l’angle au centre, β = 2α, donc les deux arcs sont de même longueur. Cela signifie que lorsque l’on fait rouler le cercle vert à l’intérieur du cercle bleu, le point qui commence en A reste toujours sur le diamètre [AC].


Dernière édition par FD le Sam 26 Juil 2014 - 14:37, édité 1 fois (Raison : Mauvais nom de théorème…)
avatar
cassoulet
Niveau 3

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par cassoulet Sam 26 Juil 2014 - 2:27
Très élégant ! et niveau seconde actuelle.
avatar
User17706
Bon génie

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par User17706 Sam 26 Juil 2014 - 10:14
Ah oui, très joli!
leskhal
leskhal
Niveau 9

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par leskhal Sam 26 Juil 2014 - 11:25
Sauf que le théorème de l'angle inscrit doit être démontré, et que les élèves de seconde n'ont aucune idée de ce qu'est une démonstration, ils commencent à peine à comprendre de quoi il s'agit en passant leur bac...

Mais cette démonstration est très jolie, illustre la définition du radian, hors programme en seconde, même si tout prof sensé s'y attelle...
Gryphe
Gryphe
Médiateur

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Gryphe Sam 26 Juil 2014 - 11:38
Cela signifie que lorsque l’on fait rouler le cercle vert à l’intérieur du cercle bleu, le point qui commence en A reste toujours sur le diamètre [AC].
Belle démonstration !  veneration 
avatar
User5899
Demi-dieu

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par User5899 Sam 26 Juil 2014 - 11:40
C'est beau, les maths !! yesyes
Gryphe
Gryphe
Médiateur

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Gryphe Sam 26 Juil 2014 - 11:45
(Bon, perso, je fais juste semblant de comprendre, hein...  Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? 248604097 )
avatar
FD
Niveau 7

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par FD Sam 26 Juil 2014 - 14:38
J’avais écrit théorème de l’angle inscrit, c’est le théorème de l’angle au centre qui est utilisé ici.
Finrod
Finrod
Expert

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Finrod Sam 26 Juil 2014 - 17:28
FD a écrit:
On définit le point M comme l’intersection du diamètre [AC] et du cercle vert. L’arc AB mesure 2rα, l’arc MB mesure rβ, et par le théorème de l’angle au centre, β = 2α, donc les deux arcs sont de même longueur. Cela signifie que lorsque l’on fait rouler le cercle vert à l’intérieur du cercle bleu, le point qui commence en A reste toujours sur le diamètre [AC].

Moi je ne comprends rien à la preuve - que prouve-t-on d'ailleurs ?  (ou que doit-on prouver ?)

A mon avis la difficulté c'est surtout de trouver l'équation paramétrique du déplacement du point d'intersection du cercle avec chacun des 9 diamètres et de montrer ainsi que le mouvement se fait sur une droite et à vitesse identique sur chaque branche. D'ailleurs la vitesse est elle constante en fonction de la position du point ?
avatar
Feyn
Niveau 7

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Feyn Sam 26 Juil 2014 - 17:55
Il n'y a pas d'illusion au sens où on ne se trompe pas lorsqu'on voit un cercle rouler dans un autre, seulement, il se trouve que si on trace un octogone régulier inscrit dans le cercle qui roule dans l'autre, les points se déplacent sur un segment.

C'est cela que l'on peut démontrer, comme l'a bien fait FD.
Thalia de G
Thalia de G
Médiateur

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Thalia de G Sam 26 Juil 2014 - 18:04
Gryphe a écrit:(Bon, perso, je fais juste semblant de comprendre, hein...  Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? 248604097 )
Je ne fais même pas semblant de comprendre  Razz 
Mais honnêtement, cela me paraît intéressant et en plus c'est joli.

_________________
Le printemps a le parfum poignant de la nostalgie, et l'été un goût de cendres.
Soleil noir de mes mélancolies.
Finrod
Finrod
Expert

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Finrod Sam 26 Juil 2014 - 18:05
Le propre d'une preuve est d'être explicite, "le point qui commence en A", ce n'est pas très explicite pour définir un objet mathématique. Comme je n'ai pas l'idée de FD en tête, je ne comprend pas cette phrase.

A aucun moment FD ne parle d'octogone.
Finrod
Finrod
Expert

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Finrod Sam 26 Juil 2014 - 18:19
Bon je me trompe surement mais moi je trouve que l'angle beta du dessin vaut pi-2alpha ....

Si on considère que B a glissé d'un angle alpha sur le cercle alors les vecteurs OI et IB ont pour coordonnée (cos(alpha),sin(alpha)) et le vecteur normal à IB a pour coordonnée N(-sin(alpha),cos(alpha)). Comme M est sur le cercle de centre I de rayon 1 et que l'angle BIM est beta, on en déduite que les coordonnées de M dans la base formée par IB et son vecteur normal N est (cos(beta),sin(beta))

Calculons alors la première coordonnée (l'abscisse) de IM. On obtient

cos(beta)abscisse (IB)+ sin(beta) Abscisse (N)= cos(beta)sin(alpha)-sin(beta)cos(alpha) = cos(beta+alpha)

L'abscisse de OM doit être nulle car M est sur AC et comme OM = OI+IM, elle vaut cos(alpha)+cos(beta+alpha), soit par une formule de trigo

cos(alpha)+cos(beta+alpha) = 2cos (\alpha+beta/2)cos(beta/2)

qui vaut 0 quand alpha+beta/2=pi/2 ou beta/2=pi/2 soit beta=pi-2alpha ou bien beta=pi (modulo 2 pi, j'ai exclus les solutions partant de 3pi/2, mais j'ai pas le courage de chercher une justification)

Finrod
Finrod
Expert

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Finrod Sam 26 Juil 2014 - 18:25
Je suis allé regarder le théorème de l'angle au centre, je ne comprends pas non plus comment on peut l'appliquer ici ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_l'angle_inscrit_et_de_l'angle_au_centre

Normalement il s'applique sur un seul arc qui recoupe deux angles, là les deux arcs, AB et MB sont bien distincts.

(Je précise que ma première motivation dans ces recherches est que je n'ai pas envi de me remettre à mon vrai boulot... pas que je suis pointilleux et que je veux casser l'ambiance hein  Razz )
avatar
Feyn
Niveau 7

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Feyn Sam 26 Juil 2014 - 18:28
Finrod, je suis d'accord que la démo de FD n'est pas très bien rédigée, il manque un peu de rédaction.

Ce qu'il démontre (ou du moins écris tous les éléments pour), c'est que la longueur de l'arc de cercle MB est égale à la longueur de l'arc de cercle BA. Ainsi, si le cercle vert est dans la position ou B=A, puis roule le long du cercle bleu, alors le point intialement en A est toujours sur le segment AC.

FD applique le théorème de l'angle au centre dans le cercle vert.
Finrod
Finrod
Expert

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Finrod Sam 26 Juil 2014 - 20:03
Non mais c'est surement moi qui ne comprend rien (je suis pas top en géométrie et archi nul en interprétation type sc-phy)

Je ne me souci pas trop de la qualité de la rédaction, c'est juste qu'écris comme ça, je ne comprends pas du tout et ce n'est pas de la mauvaise volonté, je suis complètement paumé.

Plus précisément, je ne comprend pas pourquoi les arcs MB et AB sont égaux , je ne vois même pas le lien avec le thm de l'angle au centre.

Je ne comprend pas du tout le lien entre l'égalité des deux arcs, (ou même celle des deux angles) et le fait que le point soit sur AC.

Quand je paramétrise pour faire les calculs, je ne trouve pas le même résultat et je ne vois pas mon erreur de calcul.
avatar
Cath
Enchanteur

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Cath Sam 26 Juil 2014 - 20:18
Je poste parce que le titre me plait et je n'ai rien lu : je trouve très jolie cette idée de points mouvants.


 ballon
avatar
FD
Niveau 7

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par FD Sam 26 Juil 2014 - 23:15
Le théorème de l’angle au centre dans le cercle intérieur avec comme arc intercepté MB donne directement BIM = 2 BOM, soit β = 2α. C’est le cas particulier où un des côtés de l’angle inscrit est un diamètre, qui est le premier cas démontré dans la démonstration.

Le cercle roule sans glisser, ce qui est équivalent à : si le cercle vert est au départ tangent au cercle bleu en A puis roule jusqu’à être tangent au cercle bleu en B, et qu’on appelle M le point du cercle vert qui était en A au départ, M est caractérisé par l’égalité des arcs AB et MB (avec des mesures algébriques).

Là je connaissais le résultat donc j’ai défini M comme intersection de [AC] et du cercle vert et montré que c’était le bon point; si on ne veut pas partir de la réponse il faut définir M tel que arc BM = arc BA puis prouver que M est sur [AC].
Finrod
Finrod
Expert

Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ? Empty Re: Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

par Finrod Dim 27 Juil 2014 - 9:12
okay. (de toute façon c'est un raisonnement par équivalence)

Et donc le lien avec l'égalité des arcs viendrait du fait que B et M se déplacent à la même vitesse donc parcourent la même distance, ce qui serait l'hypothèse de départ.

Faudra que je regarde où je me suis planté pour le calcul paramétrique.
Voir le sujet précédentRevenir en hautVoir le sujet suivant
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum