[Maths 2de] égalité de vecteurs et parallélogramme

Petite question :

En 2de, je travaille la propriété "Si vectAB = vectCD alors ABDC est un parallélogramme".
En général, on justifie à l'oral. Comment faites-vous intervenir le sens des vecteurs dans la justification ?

Merci !

chmarmottine a écrit:Petite question :

En 2de, je travaille la propriété "Si vectAB = vectCD alors ABDC est un parallélogramme".
En général, on justifie à l'oral. Comment faites-vous intervenir le sens des vecteurs dans la justification ?

Merci !

Je n'ai pas de secondes mais cela posera toujours un problème si les bases ne sont pas clairement établies.

Quelle définition donner pour un vecteur et quelle définition pour un parallélogramme?

Au collège, on mélange assez volontiers géométrie affine et géométrie métrique

chmarmottine a écrit:Petite question :

En 2de, je travaille la propriété "Si vectAB = vectCD alors ABDC est un parallélogramme".
En général, on justifie à l'oral. Comment faites-vous intervenir le sens des vecteurs dans la justification ?

Merci !

Cela provient toujours plus ou moins directement de la définition d'une translation, qui est reliée à celle d'un parallélogramme (sauf si l'on définit directement l'équipollence).
Par exemple, si on veut utiliser les longueurs: si vec(AB) = vec(CD), alors on a la même translation de A à B ou de C à D.
On a donc AB = CD (même déplacement ⇒ même distance), et de plus le translaté de [AC] est [BD] (pour une transformation isométrique, on relie les images des points comme dans la figure de départ, c'est abondamment fait en primaire et au collège).
On a donc AC=BD, ce qui donne des côtés égaux pour ABDC mais pas ABCD.

(et pour répondre directement à la question d'origine, A et C sont imposés comme adjacents par le fait que ce sont les deux antécédents pour la translation étudiée, et la polarisation antécédent/image vient du sens des vecteurs)

Bonjour,
Depuis le siècle dernier, les programmes sur l'introduction du vecteur ont beaucoup changé...
Voici une présentation qui est peut-être encore utilisable, au moins en partie :
https://www.youtube.com/watch?v=flhnlSxg3P0
D'autres programmes sur la même chaîne où on parle de translation...

Oui mais la translation est une application affine, qui devient une isométrie si on définit une norme (ou si l'on parle de longueurs) sa définition n'exige, en toute rigueur, pas de définir le mot "longueur"
Je ne chipote pas spécialement (et comme beaucoup j'ai souvent défini une vecteur faussement pas direction ,sens, longueur) mais si on veut faire des démonstrations, il faut savoir dans quel contexte on se place et ce n'est pas bien clair pour moi (le contexte, pas les notions je pense)

Balthazaard a écrit:Oui mais la translation est une application affine, qui devient une isométrie si on définit une norme (ou si l'on parle de longueurs) sa définition n'exige, en toute rigueur, pas de définir le mot "longueur"
Je ne chipote pas spécialement (et comme beaucoup j'ai souvent défini une vecteur faussement pas direction ,sens, longueur) mais si on veut faire des démonstrations, il faut savoir dans quel contexte on se place et ce n'est pas bien clair pour moi (le contexte, pas les notions je pense)

Pourquoi faussement ?

Comme tu le dis plus haut, il me semble que c'est une question de cadre où on se place.

Si tu définis un vecteur par direction, sens et longueur ( et c'est la définition historique, même s'il est vrai que définir rigoureusement une direction et un sens n'est pas facile), montrer que vectAB=vectCD ssi ABDC est un parallélogramme est un théorème.

Si tu définis les vecteurs par des bipoints équipollents, ou en utilisant des parallélogramme, ou une translation (cette dernière manière me semblant la moins intuitive, même si elle a été à la mode il y a quelques années), il me semble que c'est plus ou moins une tautologie.

Petite précision : ce n'est pas ce que demande l'inspection, mais oui, j'ai défini les vecteurs avec direction, sens et longueur.

Une définition ne sera pas "fausse" tant qu'elle n'induira pas de contradiction...donc ce n'est pas "faux". Disons qu'à mon sens, en maths on essaie de prendre les bases les plus restreintes possibles pour construire de nouveaux objets. Se placer dans un espace métrique est une hypothèse très forte. Un simple espace affine suffit pour définir les vecteurs.

C'est une difficulté dont les concepteurs de programmes sont sans doute conscients, la définition de seconde (translation avec une définition imbuvable à base de milieu, puis introduction du vecteur de cette translation, on ne parle jamais de longueur) reste dans un cadre affine.
Je ne défend pas du tout cette définition totalement inapplicable et non intuitive, et encore une fois, je parle de longueur...mais..
Je préfèrerait de loin revenir à l'équipollence ou bien mieux parler d'espace vectoriel (structure en soi très puissante aussi mais beaucoup plus féconde)

chmarmottine a écrit:Petite précision : ce n'est pas ce que demande l'inspection, mais oui, j'ai défini les vecteurs avec direction, sens et longueur.

Dans ce cas, je dirais que si vectAB=vectCD

- vectAB=vectCD ont même direction, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles
-vectAB=vectCD ont même norme, donc les côtés [AB] et [DC] ont même longueur
-vectAB=vectCD ont même sens, donc le quadrilatère ABDC n'est pas croisé.

Ensuite, le fait qu'un quadrilatère non croisé ABDC est un parallélogramme ssi il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur doit être une des caractérisations du parallélogramme données dans le chapitre sur les configurations géométriques. (Et un théorème de géométrie pas si facile à démontrer.)

Dans la pratique, je suis sceptique sur l'utilité de ces démonstrations faites à l'oral pour donner une idée aux quelques élèves qui peuvent suivre...Je ne sais pas s'il en reste grand chose. Ce n'est pas un reproche, je sais que faire vraiment les démonstrations en cours de seconde demandrait de mettre en place d'autres choses avant (notamment un formation à la logique) et qu'il y a toujours la tentation d'essayer de donner une idée de ce qu'il y a derrière nos affirmations pour les bons élèves.

L'autre problème est qu'on n'a jamais le temps de faire un "vrai" chapitre sur les configurations géométriques.

Balthazaard a écrit:Une définition ne sera pas "fausse" tant qu'elle n'induira pas de contradiction...donc ce n'est pas "faux". Disons qu'à mon sens, en maths on essaie de prendre les bases les plus restreintes possibles pour construire de nouveaux objets. Se placer dans un espace métrique est une hypothèse très forte. Un simple espace affine suffit pour définir les vecteurs.

C'est une difficulté dont les concepteurs de programmes sont sans doute conscients, la définition de seconde (translation avec une définition imbuvable à base de milieu, puis introduction du vecteur de cette translation, on ne parle jamais de longueur) reste dans un cadre affine.
Je ne défend pas du tout cette définition totalement inapplicable et non intuitive, et encore une fois, je parle de longueur...mais..
Je préfèrerait de loin revenir à l'équipollence ou bien mieux parler d'espace vectoriel (structure en soi très puissante aussi mais beaucoup plus féconde)

Si tu te places dans une logique réductionniste, dans l'idée de tout fonder sur la théorie des ensembles à la Zermelo-Fraenkel (en gros et pour simplifier à gros traits, l'approche popularisée dans l'enseignement français par Bourbaki), c'est juste. Mais ça me semble très prématuré en seconde.

Je suis conscient que partir du principe qu'on se place dans un espace métrique est une hypothèse forte, mais elle me semble raisonnable à ce stade. Les élèves ont une vison intuitive des espaces métriques en 2 et 3 dimensions, ou devraient.

(Et assez d'accord sur le caractère rigoureux, mais complètement anti-intuitif de la définition des vecteur égaux préconisée par les programmes...)

"Si tu te places dans une logique réductionniste, dans l'idée de tout fonder sur la théorie des ensembles à la Zermelo-Fraenkel (en gros et pour simplifier à gros traits, l'approche popularisée dans l'enseignement français par Bourbaki), c'est juste. Mais ça me semble très prématuré en seconde."

C'est moins caricatural que cela, IL y a la tentative de HIlbert de présenter une version cohérente des axiomes d'Euclide, cela devient rapidement très compliqué, justement à cause de la structure d'espace affine qui est celle qui fait que les figures sont "celles que nous connaissons"

C'est pour cela que je suis assez réservé sur les démonstrations "de base" de la géométrie, on ne sais jamais trop dans quel jeu d'hypothèses on se trouve et on en vient même je dirai à développer des doutes sur des questions de base.
Du genre qu'est ce qu'un espace "euclidien"...
une construction fondée sur les postulats d'Euclide...dont le fameux cinquième ?
Un espace affine associé à un espace vectoriel pré-hilbertien réel de dimension finie...mais dans ce cas le cinquième postulat est un "théorème"?
La construction de HIlbert?
Et le théorème/axiome de Thalès il se place où celui là?

Balthazaard a écrit:C'est pour cela que je suis assez réservé sur les démonstrations "de base" de la géométrie, on ne sais jamais trop dans quel jeu d'hypothèses on se trouve et on en vient même je dirai à développer des doutes sur des questions de base.

Si l'on admet les cas d'égalité des triangles, on s'en sort assez bien; pour ce qui est des références récentes, c'est fait ainsi dans « Les maths au collège: démontrer pour comprendre » de Casamayou-Boucau et Pantigny. Pour formaliser davantage, Jean-Pierre Demailly propose un système intéressant qui s'inspire des maths modernes mais qui commence avec des points et des distances plutôt que des vecteurs. On peut caractériser tous les objets géométriques usuels par des distances (par exemple, [AB] = {M dans le plan | AM+MB = AB}), et lorsqu'on passe aux coordonnées grâce à la formule de la distance (qui est alors un axiome), on peut démontrer tous les résultats classiques.

L'enseignement de la géométrie de Choquet propose une belle construction voire deux.

Il y a un livre de Cousin-Fauconnet aussi.

Sinon, pour ces histoires topologiques, l'axiome de Pasch est assez efficace (dans la construction de Hilbert par exemple).

L'approche par les cas d'égalité a, me semble-t-il, été initiée par Hadamard dans ses Leçons de géométrie élémentaire:
https://ia800306.us.archive.org/30/items/leonsdegomtriel04hadagoog/leonsdegomtriel04hadagoog.pdf

Il me semble que Pasch est antérieur à Hadamard, mais c'est un très beau traité aussi.