Calculs d'aires et de périmètres.

Pourtant, la longueur de l'arc de cercle (en mètres, et non en mètres-radians) est égale au produit du rayon du cercle (en mètres) par la mesure de l'angle (en radians).



Sont tordus, ces profs de maths.

Et certains m'ecrivent "35m x 5€ = 175€" pour un prix mais ça m'embête un peu... Les unités c'est bien pour calculer des périmètres ou longueur mais de là à les mettre partout ça complique un peu...!

Visiblement, ces élèves calent sur les bases du calcul tensoriel.

Ce n'est pas facile ce genre de calcul...
Est ce que ceux qui mettent les unités dans les calculs d'aires, périmètres et volumes les mettent aussi dans les calculs de prix et de prix par kg ?

Personne pour : radians x mètres = mètres

?

C'est quoi le problème avec rad.m = m ?
On simplement rad = m.m^-1.

Pareil.

ben2510 a écrit:C'est quoi le problème avec rad.m = m ?
On simplement rad = m.m^-1.

Disons que mon premier réflexe a été de me dire "c'est quand même bizarre de mettre une unité à une grandeur sans unité".

Après réflexion (et quelques lectures) il semble qu'il faille bien séparer dimension et unité. Le radian est un unité de mesure d'une grandeur sans dimension.

La page wiki m'a l'air pas mal :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_dimensionnelle

Une difficulté est qu'il me semble que la confusion est quand même souvent présente dans la littérature, et qu'on parle d'unité quand il faudrait en toute rigueur parler de dimension, par exemple quand on vérifie l'homogénéité d'une formule.

Un autre difficulté, concernant le radian, est que la vitesse angulaire peut être donnée en rad.s^{-1}, mais que le radian peut disparaître par la suite.

Par exemple, lorsqu’on calcule l'intensité d'un force centrifuge avec F=m.r.omega^2, la vitesse angulaire omega est en rad.s^{-1}, mais le résultat en kg.m.s^{-2} (c'est-à-dire newton) et pas en kg.m.rad^2.s^{-2}...

Wiki toujours :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_angulaire

Merci Prezbo.
Oui, ce n'est pas si simple que cela en a l'air.
D'ailleurs, fondamentalement, pourquoi le radian pose-t-il un tel problème et pas les autres unités ? qu'est-ce qui, dans la notion d'angle, implique un tel caractère de l'unité d'angle (ce "sans dimension"), et qui est absent dans les autres unités ?

JPhMM a écrit:Merci Prezbo.
Oui, ce n'est pas si simple que cela en a l'air.
D'ailleurs, fondamentalement, pourquoi le radian pose-t-il un tel problème et pas les autres unités ? qu'est-ce qui, dans la notion d'angle, implique un tel caractère de l'unité d'angle (ce "sans dimension"), et qui est absent dans les autres unités ?

Analyse dimensionnelle.

Le radian est un quotient de deux longueurs (une longueur d'arc divisée par un rayon), c'est à dire deux grandeurs de même dimension : lui même n'a plus de dimension.

L'analogie qui me vient en tête est celle de la densité, qui est un rapport de deux masses volumiques (généralement masse volumique d'un corps divisé par masse volumique de l'eau) et qui est elle aussi une grandeur sans dimension.

JPhMM a écrit:Merci Prezbo.
Oui, ce n'est pas si simple que cela en a l'air.
D'ailleurs, fondamentalement, pourquoi le radian pose-t-il un tel problème et pas les autres unités ? qu'est-ce qui, dans la notion d'angle, implique un tel caractère de l'unité d'angle (ce "sans dimension"), et qui est absent dans les autres unités ?

A froid, comme ça, je pencherais pour deux pistes :
- la définition même d'un angle qui reste trop souvent bancale
- le côté intermédiaire de l'angle qui a le Q coincé entre deux dimensions (il faut 2 vecteurs non colinéaires pour faire 1 angle non nul -donc on est en dim 2 ?- mais on le mesure avec un seul nombre -donc on est en dim 1 ?- )

D'une manière général, dès qu'il y a des angles, c'est le brodel

JPhMM a écrit:Merci Prezbo.
Oui, ce n'est pas si simple que cela en a l'air.
D'ailleurs, fondamentalement, pourquoi le radian pose-t-il un tel problème et pas les autres unités ? qu'est-ce qui, dans la notion d'angle, implique un tel caractère de l'unité d'angle (ce "sans dimension"), et qui est absent dans les autres unités ?

C'est le fait qu'un angle soit invariant par agrandissement/réduction (en thermodynamique, cela correspond aux grandeurs intensives). L'angle se rapproche alors du comptage, puisqu'il s'agit de compter un « nombre fractionnaire de tours » (je le dis parfois aux collégiens, d'ailleurs, qu'un tour entier c'est 360 degrés), mais que pour des raisons diverses on préfère qu'un tour entier corresponde à 2pi, 360 ou 400 plutôt qu'à 1.
D'ailleurs, si l'on prend la définition « mathématiques modernes » d'un angle (orienté) plan, elle vient de la réalisation de SO_2(R) comme sous-groupe à 1 paramètre de GL_2(R); pour que son action sur les vecteurs non nuls soit simplement transitive il est nécessaire soit de se restreindre aux vecteurs unitaires soit de passer au quotient sur des demi-droites vectorielles; dans les deux cas on perd la dimension et on devient invariant à l'agrandissement/réduction lors de cette étape.

William Foster a écrit:
A froid, comme ça, je pencherais pour deux pistes :
- la définition même d'un angle qui reste trop souvent bancale
- le côté intermédiaire de l'angle qui a le Q coincé entre deux dimensions (il faut 2 vecteurs non colinéaires pour faire 1 angle non nul -donc on est en dim 2 ?- mais on le mesure avec un seul nombre -donc on est en dim 1 ?- )

Je ne pense pas que ce soit ce qui pose problème ici, mais disons qu'une autre difficulté me semble être qu'il y a souvent confusion entre un angle et la mesure d'un angle.

Tel que je l'analyse, un angle est un objet géométrique : deux demi-droites de même origine pour un angle non orienté (niveau collège), deux vecteurs non nuls pour un angle orienté (niveau lycée).

La mesure de l'angle est une grandeur scalaire, qui, comme son nom l'indique, mesure la "quantité d'angle". (Cette phrase est un peu tautologique, et j'ai bien conscience que ce n'est pas signe de grande clarté.).

La difficulté et qu'on emploie couramment la même notation pour parler de l'angle et de sa mesure.

(J'utilise dans ce qui suit des notation latex, faute de mieux.) On peut lire par exemple (parfois dans un même énoncé) "Donner un mesure de l'angle $\widehat{ABC}$" et  $\widehat{ABC}=45 degré$

William Foster a écrit:
D'une manière général, dès qu'il y a des angles, c'est le brodel

Le terme généralement pudiquement employé est abus de langage.

Mathador a écrit:

JPhMM a écrit:Merci Prezbo.
Oui, ce n'est pas si simple que cela en a l'air.
D'ailleurs, fondamentalement, pourquoi le radian pose-t-il un tel problème et pas les autres unités ? qu'est-ce qui, dans la notion d'angle, implique un tel caractère de l'unité d'angle (ce "sans dimension"), et qui est absent dans les autres unités ?

C'est le fait qu'un angle soit invariant par agrandissement/réduction (en thermodynamique, cela correspond aux grandeurs intensives). L'angle se rapproche alors du comptage, puisqu'il s'agit de compter un « nombre fractionnaire de tours » (je le dis parfois aux collégiens, d'ailleurs, qu'un tour entier c'est 360 degrés), mais que pour des raisons diverses on préfère qu'un tour entier corresponde à 2pi, 360 ou 400 plutôt qu'à 1.
D'ailleurs, si l'on prend la définition « mathématiques modernes » d'un angle (orienté) plan, elle vient de la réalisation de SO_2(R) comme sous-groupe à 1 paramètre de GL_2(R); pour que son action sur les vecteurs non nuls soit simplement transitive il est nécessaire soit de se restreindre aux vecteurs unitaires soit de passer au quotient sur des demi-droites vectorielles; dans les deux cas on perd la dimension et on devient invariant à l'agrandissement/réduction lors de cette étape.

En passant, la définition des angles à partir des rotations a été transposée dans les programmes aux vecteurs qui sont maintenant trouvés à partir des translations... Mais je reste très circonspect sur l'efficacité de la chose, en termes de compréhensibilité par les élèves :|
Oui y'a encore du quotient et des classes d'équivalence derrière, mais... Je continue de trouver ça bizarre.

D'accord avec toi sur l'effet nocif des abus de langage sur les angles. Les gens mélangent tellement les deux pour en faire de la tambouille qu'on dirait presque des statistiques du journal TV avec des pourcentages.

William Foster a écrit:En passant, la définition des angles à partir des rotations a été transposée dans les programmes aux vecteurs qui sont maintenant trouvés à partir des translations... Mais je reste très circonspect sur l'efficacité de la chose, en termes de compréhensibilité par les élèves :|
Oui y'a encore du quotient et des classes d'équivalence derrière, mais... Je continue de trouver ça bizarre.

Cela permet de réifier la classe d'équivalence sans prendre de représentant particulier, de façon compatible avec la somme de vecteurs (qui correspond à la composée). De plus, l'idée de déplacer un point par exemple de « 3 unités vers la droite et 2 vers le bas » est assez intuitive, même pour des collégiens, et nous donne en bonus la notion de coordonnées d'un vecteur; la translation consiste alors à observer ce que ça fait sur une figure complète.
Le véritable point délicat qui reste me semble être l'idée de se déplacer « racine de 2 fois plus » lorsqu'on multiplie un vecteur par racine de 2; comprendre cela me semble nécessiter une idée suffisamment précise de ce qu'est un nombre réel et une longueur (ou un rapport de longueurs) réelle (y compris irrationnelle), or ces notions d'analyse, bien que correctement préparées au cycle 3 (division à quotient décimal et encadrement), sont complètement oubliées au cycle 4 et de surcroît atrophiées par le recours systématique aux touches √, sin et cos de la calculatrice pour les nouveaux nombres positifs qu'on y aborde.

Mathador a écrit:

William Foster a écrit:En passant, la définition des angles à partir des rotations a été transposée dans les programmes aux vecteurs qui sont maintenant trouvés à partir des translations... Mais je reste très circonspect sur l'efficacité de la chose, en termes de compréhensibilité par les élèves :|
Oui y'a encore du quotient et des classes d'équivalence derrière, mais... Je continue de trouver ça bizarre.

Cela permet de réifier la classe d'équivalence sans prendre de représentant particulier, de façon compatible avec la somme de vecteurs (qui correspond à la composée). De plus, l'idée de déplacer un point par exemple de « 3 unités vers la droite et 2 vers le bas » est assez intuitive, même pour des collégiens, et nous donne en bonus la notion de coordonnées d'un vecteur; la translation consiste alors à observer ce que ça fait sur une figure complète.
Le véritable point délicat qui reste me semble être l'idée de se déplacer « racine de 2 fois plus » lorsqu'on multiplie un vecteur par racine de 2; comprendre cela me semble nécessiter une idée suffisamment précise de ce qu'est un nombre réel et une longueur (ou un rapport de longueurs) réelle (y compris irrationnelle), or ces notions d'analyse, bien que correctement préparées au cycle 3 (division à quotient décimal et encadrement), sont complètement oubliées au cycle 4 et de surcroît atrophiées par le recours systématique aux touches √, sin et cos de la calculatrice pour les nouveaux nombres positifs qu'on y aborde.

Justement, plutôt que de s'appuyer sur l'intuition "on décale de 3 carreaux vers la droite, puis 2 vers le haut", on nous a demandé en formation de regarder ce que la translation fait à la figure complète, puis d'en déduire que chaque point a été décalé tout pareil. Le tout bien sûr sans définir la translation.
D'un point de vue élève, cela revient à se prendre la tête sans le quadrillage, et une fois cette étape maîtrisée se rendre compte que c'est 'achement plus simple si y'a juste à compter les carreaux.
A mon sens, mais peut-être est-ce parce que c'est ainsi que je l'ai compris enfant, il est plus simple de compter les carreaux et de voir ensuite que si les carreaux ne sont pas carrés mais parallélogrammeux, ça marche pareil... :|

William Foster a écrit:Justement, plutôt que de s'appuyer sur l'intuition "on décale de 3 carreaux vers la droite, puis 2 vers le haut", on nous a demandé en formation de regarder ce que la translation fait à la figure complète, puis d'en déduire que chaque point a été décalé tout pareil. Le tout bien sûr sans définir la translation.
D'un point de vue élève, cela revient à se prendre la tête sans le quadrillage, et une fois cette étape maîtrisée se rendre compte que c'est 'achement plus simple si y'a juste à compter les carreaux.
A mon sens, mais peut-être est-ce parce que c'est ainsi que je l'ai compris enfant, il est plus simple de compter les carreaux et de voir ensuite que si les carreaux ne sont pas carrés mais parallélogrammeux, ça marche pareil... :|

Je crois que je vais devoir aller me faire absoudre chez les IPR alors, ayant expliqué à mes 5^èmes les coordonnées comme déplacements horizontaux puis verticaux à faire pour aller du 0 au point. Après, je pense être d'accord avec toi, une activité qui me semble raisonnable pour la translation est de rependre le déplacement pour aller de 0 à un point (« 3 à droite, 2 en bas ») puis de faire faire ça à tous les points d'une figure polygonale. Après avoir relié les points de destination pour quelques valeurs différentes des déplacements, l'idée de « glisser sans tourner » peut ressortir.
Une autre activité qui me semble intéressante (et complémentaire) est de faire compléter une figure pour qu'elle ait 2 centres de symétrie: on peut alors voir sur la frise obtenue son groupe des translations, engendré par la composée des 2 symétries centrales d'origine.
Pour revenir à ta formation, là on est vraiment dans le travers de faire de la démarche d'investigation pour en faire…

Mathador a écrit:Pour revenir à ta formation, là on est vraiment dans le travers de faire de la démarche d'investigation pour en faire…

Crois-moi ou pas, tu n'as pas envie, je n'ai pas envie, personne n'a envie de revenir à cette formation

Mathador a écrit:

William Foster a écrit:En passant, la définition des angles à partir des rotations a été transposée dans les programmes aux vecteurs qui sont maintenant trouvés à partir des translations... Mais je reste très circonspect sur l'efficacité de la chose, en termes de compréhensibilité par les élèves :|
Oui y'a encore du quotient et des classes d'équivalence derrière, mais... Je continue de trouver ça bizarre.

Cela permet de réifier la classe d'équivalence sans prendre de représentant particulier, de façon compatible avec la somme de vecteurs (qui correspond à la composée). De plus, l'idée de déplacer un point par exemple de « 3 unités vers la droite et 2 vers le bas » est assez intuitive, même pour des collégiens, et nous donne en bonus la notion de coordonnées d'un vecteur; la translation consiste alors à observer ce que ça fait sur une figure complète.

Mathador a écrit:
Une autre activité qui me semble intéressante (et complémentaire) est de faire compléter une figure pour qu'elle ait 2 centres de symétrie: on peut alors voir sur la frise obtenue son groupe des translations, engendré par la composée des 2 symétries centrales d'origine.
Pour revenir à ta formation, là on est vraiment dans le travers de faire de la démarche d'investigation pour en faire…

Du haut de ma modeste expérience, j'avoue être très sceptique face à ce genre de justification...J'ai l'impression que toutes ces démarches partent d'une vision formelle et idéalisée de la notion qu'on veut découvrir, puis espèrent tracer ex nihilo un chemin psychologique permettant à l'apprenant d'accéder à ce sens profond en suivant l'activité proposé...

Mais la compréhension de l'apprenant ne se décrète pas sur commande, et l'histoire des mathématiques me semble plutôt apprendre qu'un notion doit d'abord être longuement mâchée et travaillée avant qu'on parvienne à en donner une définition plus générale et plus correcte.

Il y a une vraie difficulté à la définition formelle d'un vecteur, qu'il ne faut pas éluder.

Personnellement, après avoir testé pas mal de trucs...Je suis revenu à la définition historique "à la physicienne", avec direction, sens et norme.

Cette définition cache aussi des difficultés, je me souviens que cette notion de "direction" m'a longtemps paru obscure quand j'étais élève (en fait, il y a derrière, on n'y coupe pas, l'idée de classe d'équivalence). Mais disons qu'elle me semble nettement plus élémentaire et intuitive que ce que j'ai vu proposé par ailleurs.

Gros avantage : elle me permet de définir le produit d'un vecteur par un scalaire sans passer par les coordonnées (donc en évitant d'être a priori dépendant du choix du repère). L'idée de garder le même sens si le réel est positif, en changer s'il est négatif est généralement bien comprise.

Inconvénients (il y en a aussi) : les élèves font beaucoup moins de mathématiques en sciences physiques, et je peux donc moins m'appuyer sur ce qu'ils ont fait dans cette matière. Depuis quelques années, j'ai l'impression qu'ils saisissent moins l'intérêt des vecteurs, qu'ils voient comme un objet purement formel.

Par ailleurs, cela retarde l'introduction des coordonnées d'un vecteur...Sachant, que par la suite, ils feront très peux de manipulation de vecteurs formelles (plus de barycentres en 1S, plus de lieux de points...) et quasiment que de la technique de calcul à l'aide des coordonnées...

Ça ressemble à quoi, une figure avec deux centres de symétrie ?

Distincts?

Je présume que c'est sous-entendu, oui.

Mathador a écrit:Une autre activité qui me semble intéressante (et complémentaire) est de faire compléter une figure pour qu'elle ait 2 centres de symétrie: on peut alors voir sur la frise obtenue son groupe des translations, engendré par la composée des 2 symétries centrales d'origine.

William Foster a écrit:

JPhMM a écrit:Merci Prezbo.
Oui, ce n'est pas si simple que cela en a l'air.
D'ailleurs, fondamentalement, pourquoi le radian pose-t-il un tel problème et pas les autres unités ? qu'est-ce qui, dans la notion d'angle, implique un tel caractère de l'unité d'angle (ce "sans dimension"), et qui est absent dans les autres unités ?

A froid, comme ça, je pencherais pour deux pistes :
- la définition même d'un angle qui reste trop souvent bancale
- le côté intermédiaire de l'angle qui a le Q coincé entre deux dimensions (il faut 2 vecteurs non colinéaires pour faire 1 angle non nul -donc on est en dim 2 ?- mais on le mesure avec un seul nombre -donc on est en dim 1 ?- )

D'une manière général, dès qu'il y a des angles, c'est le brodel

Merci tout le monde pour vos réflexions.
C'est effectivement le bordel.
Personnellement, j'ai l'impression que le radian est une unité dite naturelle et que son écriture est donc dispensable. La mesure de l'angle (j'allais écrire "angle radial"...) est en radian, et en rien d'autre, "naturellement".

Prezbo a écrit:Il y a une vraie difficulté à la définition formelle d'un vecteur, qu'il ne faut pas éluder.

Personnellement, après avoir testé pas mal de trucs...Je suis revenu à la définition historique "à la physicienne", avec direction, sens et norme.

Cette définition cache aussi des difficultés, je me souviens que cette notion de "direction" m'a longtemps paru obscure quand j'étais élève (en fait, il y a derrière, on n'y coupe pas, l'idée de classe d'équivalence). Mais disons qu'elle me semble nettement plus élémentaire et intuitive que ce que j'ai vu proposé par ailleurs.

Gros avantage : elle me permet de définir le produit d'un vecteur par un scalaire sans passer par les coordonnées (donc en évitant d'être a priori dépendant du choix du repère). L'idée de garder le même sens si le réel est positif, en changer s'il est négatif est généralement bien comprise.

Inconvénients (il y en a aussi) : les élèves font beaucoup moins de mathématiques en sciences physiques, et je peux donc moins m'appuyer sur ce qu'ils ont fait dans cette matière. Depuis quelques années, j'ai l'impression qu'ils saisissent moins l'intérêt des vecteurs, qu'ils voient comme un objet purement formel.

Par ailleurs, cela retarde l'introduction des coordonnées d'un vecteur...Sachant, que par la suite, ils feront très peu de manipulation de vecteurs formelles (plus de barycentres en 1S, plus de lieux de points...) et quasiment que de la technique de calcul à l'aide des coordonnées...

C'est ce que je pensais (concernant le produit nombre-vecteur) dans le passé, mais même si ce formalisme de direction-sens-norme permet de se ramener au cas plus simple des longueurs, encore faut-il pouvoir multiplier une longueur par un nombre quelconque, ce qui ne peut pas se faire aux instruments, et soulève donc le même problème conceptuel de réalisation géométrique de nombres inconstructibles que de passer par les coordonnées.
Si, ce qui aiderait à résoudre ce problème, les élèves ont déjà été initiés (pas dans le même chapitre !) à une idée suffisamment précise de ce qu'est un nombre réel, il est d'ailleurs superflu de recourir aux coordonnées pour une première définition: on peut facilement multiplier un vecteur par un entier (un groupe abélien c'est aussi un Z-module), et on peut utiliser le milieu d'un segment pour multiplier un vecteur par 1/2 (une fois que l'on a établi que si I milieu de [AB] alors les vecteurs AI et IB sont égaux). La densité de Z[1/2] dans R (qui ne nécessite pas de manipuler la base 2 mais seulement la dichotomie) permet alors de généraliser le produit à tout facteur réel.
Le triptyque direction-sens-norme soulève quant à lui une difficulté supplémentaire non négligeable (et que tu as mentionnée): l'idée de direction quelque soit le sens. Les élèves connaissent les directions horizontales et verticales, mais faut-il encore arriver à les généraliser…

JPhMM a écrit:Ça ressemble à quoi, une figure avec deux centres de symétrie ?

Bien sûr, une fois la figure obtenue il y a plus que les 2 centres de symétrie imposés au départ, puisque deux symétries centrales distinctes engendrent un groupe de symétries contenant une infinité de symétries centrales.

Une fois que tu as ta frise infinie formée à partir d'un motif élémentaire et symétrie par rapport à A puis B (les centres de symétrie initiaux de la question), tu dois pouvoir faire comprendre la notion de vecteur multiplié par 1/2 facilement, puisque la frise est invariante par translation de vecteur 2.AB (lire "AB avec une flèche-chapeau" )

Suis d'accord que la notion de direction est largement aussi source d'erreur que celle (de mesure) d'angles. De manière générale, le travail sur les classes d'équivalence sans dire ce que c'est, c'est toujours acrobatique.

Hello!

Je reviens sur le sujet.
Après avoir testé les unités dans les calculs, en sixièmes certains ne voient pas l'utilité et font toujours l'erreur du 4 x 5 cm = 20 cm2. Les unités doivent servir à ne pas se tromper de formule entre l'aire et le périmètre. Certains oublient de les mettre dans les calculs et on se retrouve avec des P=5 cm + 6 + 4 cm
De plus, ils ne voient absolument pas l'utilité de faire une phrase après puisque que le A (arrondi) devant est un symbole pour dire "aire". Donc ils écrivent simplement A (arrondi voire parfois seulement le A majuscule) = 5cm x 5 cm = 25 cm2.
En soit ça me va, la phrase n'apporterait rien de plus.
Le problème c'est qu'ils ont compris que s'ils mettent les unités, ils n'ont pas besoin de faire de phrase et du coup ne m'en font plus même pour des calculs de prix ou autre... Je leur ai bien dit que c'était différent pour l'aire car il y a A (arrondi) devant donc on sait de quoi on parle !
Certains me demandent à chaque exercice s'ils doivent faire ou non une phrase.. Bref, ils semblent perdus. Pourtant si on travaille ensemble les aires et périmètres, c'est quand même préférable d'écrire les unités... Non ?
Certains aussi se mélange et m'écrivent des "25€ x 5 cm2 = 125 €"

Autre chose. Si l'on ne met pas les unités, on arrive à des trucs du genre :
Atriangle=(5 x 6):2= 15
Acarré = 7 x 7 = 49
Atotale= 15 + 49 = 64
Donc l'aire de la figure est 64 cm2.
Déjà, parfois ils oublient entre temps l'unité, c'est à dire que lorsquils concluent, ils ne se rappellent plus forcément dans quelle unité ils travaillent.
Ensuite, à quoi cela sert d'écrire Atriangle, Acarré voire P si on calcule un périmètre puisqu'on doit faire une phrase pour rétablir l'unité ensuite ?
Autant écrire les calculs sans ce P ou ce A devant.
Et puis un avantage aussi, on a la même règle pour tout : pas d'unités dans les calculs, on fait des phrases.
En. Physique chimie, ils ne mettent pas les unités dans les calculs...

Bref, j'essaie de trouver une solution face à ce pb récurrent.
Merci !

En physique chimie on ne fait aucun calcul en 6eme... Même pas en 5ème hormis le dernier mois quand je fais les volumes. 
On commence vraiment en 4eme. Et moi je fais mettre les unités absolument.