Jeu : quizz de culture mathématique, ouvert à tous :D

Figure de gauche :

Aire (rose) = 3 x (6 + (8/7 + 4)) / 2 = 117/7
Aire (bleu) = 4 x (4 + (8/7 + 4)) / 2 - 2 = 114/7

Somme des deux = 33

Figure de droite :

Aire (rose) = 3 x (5 + (6/7 + 5)) / 2 = 114/7
Aire (bleu) = 4 x (5 + (6/7 + 3)) /2 - 2 = 110/7

Somme des deux = 32

CQFD

Merci pour le problème

Plus intuitivement :

Le "1,14 environ" est en fait 4x2/7 = 8/7 (Thalès).
Le "0,86 environ" est en fait 3x2/7 = 6/7

Le rose et le bleu sont rabotés d'une hauteur de 1/7, c'est-à-dire qu'ils perdent une aire totale (parallélogramme) de 1/7 x 7 = 1.

ycombe a écrit:

JPhMM a écrit:Le plus simplement possible : les figures roses et bleues sont "rabotées" en haut dans la seconde configuration, de sorte qu'on perd l'équivalent d'un carreau au total.

J'aurais pas dit ça. Pour moi ça dépasse un peu, ce qui fait que ce n'est plus un carré. Le bas dépasse de l'équivalent d'un petit carré.

Je viens de comprendre.
Tu parles à figures superposables (découpage).
Je considérais les deux dessins proposés.

Mais oui, cela revient au même.

JPhMM a écrit:

ycombe a écrit:

JPhMM a écrit:Le plus simplement possible : les figures roses et bleues sont "rabotées" en haut dans la seconde configuration, de sorte qu'on perd l'équivalent d'un carreau au total.

J'aurais pas dit ça. Pour moi ça dépasse un peu, ce qui fait que ce n'est plus un carré. Le bas dépasse de l'équivalent d'un petit carré.

Je viens de comprendre.
Tu parles à figures superposables (découpage).
Je considérais les deux dessins proposés.

Mais oui, cela revient au même.

Voilà. Moi, j'ai trouvé en déplaçant les figures dans ma tête.

Pour ceux qui aiment le chocolat:

Spoiler:

Somptueux !!!!!

JPhMM a écrit:

ycombe a écrit:

JPhMM a écrit:Le plus simplement possible : les figures roses et bleues sont "rabotées" en haut dans la seconde configuration, de sorte qu'on perd l'équivalent d'un carreau au total.

J'aurais pas dit ça. Pour moi ça dépasse un peu, ce qui fait que ce n'est plus un carré. Le bas dépasse de l'équivalent d'un petit carré.

Je viens de comprendre.
Tu parles à figures superposables (découpage).
Je considérais les deux dessins proposés.

Mais oui, cela revient au même.

Voilà. Pour moi ça dépasse à droite.

Je t'ai déjà proposé le problème de la fourmi rouge ?

Des fourmis noires les unes derrière les autres forment une colonne d'un mètre de long.
Une fourmi rouge ferme la marche.

La colonne de fourmis noires se déplace de façon rectiligne et avance ainsi d'un mètre.
Dans le même temps, la fourmi rouge (plus rapide donc) longe la colonne pour atteindre le début de la colonne, puis la longe de nouveau, dans l'autre sens, pour revenir à la fin de la colonne.

Sachant que toutes les fourmis se déplacent à vitesse constante, quelle distance a parcouru la fourmi rouge ?

JPhMM a écrit:Je t'ai déjà proposé le problème de la fourmi rouge ?

Des fourmis noires les unes derrière les autres forment une colonne d'un mètre de long.
Une fourmi rouge ferme la marche.

La colonne de fourmis noires se déplace de façon rectiligne et avance ainsi d'un mètre.
Dans le même temps, la fourmi rouge (plus rapide donc) longe la colonne pour atteindre le début de la colonne, puis la longe de nouveau, dans l'autre sens, pour revenir à la fin de la colonne.

Sachant que toutes les fourmis se déplacent à vitesse constante, quelle distance a parcouru la fourmi rouge ?

1+√2 m ?

JPhMM a écrit:Je t'ai déjà proposé le problème de la fourmi rouge ?

Des fourmis noires les unes derrière les autres forment une colonne d'un mètre de long.
Une fourmi rouge ferme la marche.

La colonne de fourmis noires se déplace de façon rectiligne et avance ainsi d'un mètre.
Dans le même temps, la fourmi rouge (plus rapide donc) longe la colonne pour atteindre le début de la colonne, puis la longe de nouveau, dans l'autre sens, pour revenir à la fin de la colonne.

Sachant que toutes les fourmis se déplacent à vitesse constante, quelle distance a parcouru la fourmi rouge ?

Je dirais ça :

Spoiler:

ycombe a écrit:

JPhMM a écrit:Je t'ai déjà proposé le problème de la fourmi rouge ?

Des fourmis noires les unes derrière les autres forment une colonne d'un mètre de long.
Une fourmi rouge ferme la marche.

La colonne de fourmis noires se déplace de façon rectiligne et avance ainsi d'un mètre.
Dans le même temps, la fourmi rouge (plus rapide donc) longe la colonne pour atteindre le début de la colonne, puis la longe de nouveau, dans l'autre sens, pour revenir à la fin de la colonne.

Sachant que toutes les fourmis se déplacent à vitesse constante, quelle distance a parcouru la fourmi rouge ?

1+√2 m ?

Stéphane60150 a écrit:

JPhMM a écrit:Je t'ai déjà proposé le problème de la fourmi rouge ?

Des fourmis noires les unes derrière les autres forment une colonne d'un mètre de long.
Une fourmi rouge ferme la marche.

La colonne de fourmis noires se déplace de façon rectiligne et avance ainsi d'un mètre.
Dans le même temps, la fourmi rouge (plus rapide donc) longe la colonne pour atteindre le début de la colonne, puis la longe de nouveau, dans l'autre sens, pour revenir à la fin de la colonne.

Sachant que toutes les fourmis se déplacent à vitesse constante, quelle distance a parcouru la fourmi rouge ?

Je dirais ça :

Spoiler:

Non.

Ce serait trop simple.

JPhMM a écrit:

ycombe a écrit:

JPhMM a écrit:Je t'ai déjà proposé le problème de la fourmi rouge ?

Des fourmis noires les unes derrière les autres forment une colonne d'un mètre de long.
Une fourmi rouge ferme la marche.

La colonne de fourmis noires se déplace de façon rectiligne et avance ainsi d'un mètre.
Dans le même temps, la fourmi rouge (plus rapide donc) longe la colonne pour atteindre le début de la colonne, puis la longe de nouveau, dans l'autre sens, pour revenir à la fin de la colonne.

Sachant que toutes les fourmis se déplacent à vitesse constante, quelle distance a parcouru la fourmi rouge ?

1+√2 m ?

Par l'algèbre. J'aime bien faire autrement mais là, je n'avais pas d'autres idées.

JPhMM a écrit:

Je dirais ça :

Spoiler:

Non.

Ce serait trop simple. [/quote]

Je me disais aussi

ycombe a écrit:

JPhMM a écrit:

ycombe a écrit:

1+√2 m ?

Par l'algèbre. J'aime bien faire autrement mais là, je n'avais pas d'autres idées.

Oui, il serait très joli de trouver une réponse géométrique.

Il y a toujours la possibilité de paramétrer le temps selon une nouvelle dimension... il y a le célèbre problème des marcheurs à vitesse constante pour illustrer cette possibilité.

un truc bricolé vite fait... la somme des distances GC + CH semble bien correspondre à $1+\sqrt{2}$  

Geogebra est vraiment très laid.

J'ai eu la même idée, mais comment prouves-tu la longueur totale?

Pour montrer que la longueur est celle souhaitée, on peut ajouter un point J de sorte que C soit le milieu de [HJ], donc maintenant la longueur recherchée est directement GJ ; si on construit indépendamment un segment [KL] ayant la bonne longueur (par exemple en prolongeant d'une unité la diagonale d'un carré de coté 1), on pourra utiliser le bouton "relation a=b" sur les segments [GJ] et [KL] et normalement geogebra répondra qu'ils sont de même longueur. Mais je pense qu'on peut faire mieux que ça, je cherche...

ycombe a écrit:J'ai eu la même idée, mais comment prouves-tu la longueur totale?

En calculant les rapports entre les longueurs, on trouve des équations qui mènent au même résultat qu'avec une analyse algébrique plus directe du problème, mais du coup la solution n'est pas plus satisfaisante :gratte:
(En prenant HG comme unité et I point d'intersection de (AC) et (BH) : BI+2IH=1 ; IH/BI=HC ; HC=BI+IH)

Bonjour, pour ceux qui aiment se casser un peu la tête, je recommande le site diophante.fr, avec de nombreux nouveaux problèmes chaque mois !

jaybe a écrit:Pour montrer que la longueur est celle souhaitée, on peut ajouter un point J de sorte que C soit le milieu de [HJ], donc maintenant la longueur recherchée est directement GJ ; si on construit indépendamment un segment [KL] ayant la bonne longueur (par exemple en prolongeant d'une unité la diagonale d'un carré de coté 1), on pourra utiliser le bouton "relation a=b" sur les segments [GJ] et [KL] et normalement geogebra répondra qu'ils sont de même longueur. Mais je pense qu'on peut faire mieux que ça, je cherche...

J'ai cherché très fort, fait plein de dessins, je n'arrive pas à trouver la démonstration géométrique qui utilise de façon simple la somme de la longueur du côté du carré de côté 1 et de sa diagonale (ou plus probablement de deux demi-diagonales de ce carré). Mais je ne désespère pas.

Je viens de reprendre le problème ; on peut réaliser la construction sur geogebra en construisant les points A(0,0), B(0,1) et librement le point D, de sorte que les autres points soient liés à D. En plaçant de façon convenablement choisie ce point, on peut s'arranger pour que le point F ait une ordonnée égale à 1 et que les droites (CF) et (CI) soient perpendiculaires (ce qui correspond à l'alignement des points A, C et I). Les sommets F, C et I forment 4 sommets du carré de coté 1 recherché et la distance totale parcourue par la fourmi correspond à la longueur IJ (ajouter le point J à l'intersection des droites (AG) et (FI)). [non, zut, j'ai mélangé deux points, je modifie !]

Voici l'image qu'on obtient (sauf que tous les noms des points ont changé entre temps, gloups !)

Pour vous faire chercher un peu : c'est une conjecture, supposée vraie pour tout entier naturel non nul pendant quelques décennies, mais on a montré au cours du vingtième siècle (en plusieurs temps) qu'elle était fausse pour des nombres un peu plus petits qu'un milliard...

Ce n'est pas la conjecture de Mertens, semble-t-il...