La division à deux chiffres ou plus, CM

Progression des années 60 (Ardiot) :

https://manuelsanciens.blogspot.fr/2016/06/ardiot-wanauld-budin-calcul-cm1-1963_28.html

- un chiffre au diviseur
- diviseur à 2 chiffres, 1 chiffre au quotient
- diviseur à 2 ou 3 chiffres
- division à quotient décimal
- dividende décimal
- diviseur décimal
- diviseur multiples de 10; 100 ou 1000
- zéro intercalaires au quotient
- quotient plus petit que 1
- diviseur plus petit que 1
- quotient approché

celinesud a écrit:En quoi le pont est-il gênant ?

Ce n'est pas le pont qui est génant. C'est le discours qui va avec: on ne peut pas diviser un nombre plus pettit par un plus grand.

Et quand on passe à la division décimale, le pont va pouvoir contenir un nombre plus petit que le diviseur, ce qui ne pose pas de problème (chiffre 0 au quotient) mais va à l'encontre de ce qui a été appris précédemment.

On pourrait commencer comme ça…

… avant de passer au pont, ou sans passer au pont. Les zéros inutiles sont inutiles, mais ils ne sont pas faux.

ycombe a écrit:

celinesud a écrit:En quoi le pont est-il gênant ?

Ce n'est pas le pont qui est génant. C'est le discours qui va avec: on ne peut pas diviser un nombre plus pettit par un plus grand.

Je ne pense pas que ce soit enseigner de cette façon.

celinesud a écrit:

ycombe a écrit:

celinesud a écrit:En quoi le pont est-il gênant ?

Ce n'est pas le pont qui est génant. C'est le discours qui va avec: on ne peut pas diviser un nombre plus pettit par un plus grand.

Je ne pense pas que ce soit enseigner de cette façon.

Non, mais c'est souvent ce qu'il reste de cette façon de faire: on ne peut pas commencer avec un nombre plus petit. Alors qu'avec la division décimale, on le fera.

Autant le faire directement.

OK.

ycombe a écrit:
En passant, la méthode du pont me laisse perplexe, j'aimerais bien que, comme dans la division longue américaine, on apprenne aux élèves à mettre d'abord des 0. Par exemple pour 11945÷47 on dirait d'abord 1÷47 fait 0 et il reste 1, 11÷47 fait 0 et il reste 11, puis 119÷47 fait 2…

On ne passerait au pont qu'ensuite et on préparerait ainsi la division décimale, dans laquelle il est possible de commencer par un ou plusieurs 0 (1,1945÷47 par exemple).

Perso, je ne pose jamais de division de décimaux, je reviens toujours à des divisions d'entiers, ce qui me permet d'expliquer la règle (k x a) / (k x b) = a / b.
Ainsi effectuer 1,1945 : 47 revient à poser 11945 : 470000 et comme 11945 < 470000, alors on pose 0 au quotient et on abaisse un zéro au dividende : 119450 : 470000 et ainsi de suite.

Effectuer 1,1945 : 47 revient à poser 11945 : 47, plutôt. Pourquoi ces zéros inutiles ?

La virgule du dividende pose problème aux élèves ?
Ici, seule la virgule du diviseur leur pose problème, ce qui est un problème "normal".

JPhMM a écrit:La virgule du dividende pose problème aux élèves ?
Ici, seule la virgule du diviseur leur pose problème, ce qui est un problème "normal".

EDIT: Je m'excuse, en fait je répondais à ce message-ci:

ben2510 a écrit:Effectuer 1,1945 : 47 revient à poser 11945 : 47, plutôt. Pourquoi ces zéros inutiles ?

Parce qu'avec la virgule (au dividende), on obtient ça directement.

Pas besoin de passer par des multiplications par 10 000; sans virgule au diviseur, la virgule au quotient « correspond » à celle du dividende et se place au même endroit. On le voit mieux dans la division longue posée à l'américaine puisqu'on y écrit les chiffres du quotient au-dessus de ceux du dividende et que la virgule du quotient se retrouve juste au-dessus de celle du dividende.


Edit: j'ajoute que les règles que je donne pour les décimaux sont les suivantes:
1) on déplace les virgules au diviseur et au dividende d'autant de chiffres vers la droite pour qu'il n'y ait plus de virgule au diviseur.
2) Le pont ne doit pas passer au-dessus de la virgule. On l'arrête à la virgule s'il doit dépasser, et on commence alors par un ou plusieurs zéros.

ben2510 a écrit:Effectuer 1,1945 : 47 revient à poser 11945 : 47, plutôt. Pourquoi ces zéros inutiles ?

En application de la règle ka/kb = a/b.

Donc 1,1945:47 = (1,1945 x 10000) : (47x10000)

On est ramené à une division de deux entiers, ce que les élèves savent faire.

JPhMM a écrit:La virgule du dividende pose problème aux élèves ?

Cela dépend des élèves.

ycombe a écrit:
Pas besoin de passer par des multiplications par 10 000; sans virgule au diviseur, la virgule au quotient « correspond » à celle du dividende et se place au même endroit.

Je laisse les élèves faire avec la technique qu'ils savent faire. S'ils savent faire comme vous le dites, ils font ainsi.
Pour ceux qui n'y arrivent pas, on revient à une division de deux entiers.

ycombe a écrit:
Edit: j'ajoute que les règles que je donne pour les décimaux sont les suivantes:
1) on déplace les virgules au diviseur et au dividende d'autant de chiffres vers la droite pour qu'il n'y ait plus de virgule au diviseur.

C'est l'application de la règle ka/kb=a/b

ycombe a écrit:
2) Le pont ne doit pas passer au-dessus de la virgule. On l'arrête à la virgule s'il doit dépasser, et on commence alors par un ou plusieurs zéros.

Je préfère limiter le nombre de cas particuliers. Plus il y en a et plus c'est difficile à mémoriser. Donc, en déplaçant la virgule, ce problème ne se pose plus. Mais je n'empêche pas les élèves de faire ainsi.

AndréC a écrit:

ben2510 a écrit:Effectuer 1,1945 : 47 revient à poser 11945 : 47, plutôt. Pourquoi ces zéros inutiles ?

En application de la règle ka/kb = a/b.

Donc 1,1945:47 = (1,1945 x 10000) : (47x10000)

On est ramené à une division de deux entiers, ce que les élèves savent faire.

On doit faire 11945÷470000, le premier nombre étant plus petit que le diviseur comment commences-tu la division ?

ycombe a écrit:

JPhMM a écrit:La virgule du dividende pose problème aux élèves ?
Ici, seule la virgule du diviseur leur pose problème, ce qui est un problème "normal".

Parce qu'avec la virgule (au dividende), on obtient ça directement.

Je sais bien, c'est bien comme cela que je le fais, et l'enseigne.

On ne peut pas prendre 1 chiffre, ni 2, ni 3, ni 4, ni 5 puisque 11945 est plus petit que 470000...

Donc dans 11945 on peut mettre 470000 zéro fois. On place 0 au quotient et on abaisse un zéro.

AndréC a écrit:On ne peut pas prendre 1 chiffre, ni 2, ni 3, ni 4, ni 5 puisque 11945 est plus petit que 470000...

Donc dans 11945 on peut mettre 470000 zéro fois. On place 0 au quotient et on abaisse un zéro.

Et on place la virgule à ce zéro. Ça ne fait pas une grande différence avec l'idée de "mettre le pont" en l'arrêtant à la virgule et commencer donc par un zéro, en plaçant la virgule au quotient au même endroit qu'au diviseur (aka quand on abaisse le chiffre des dixièmes, on place la virgule au quotient).

D'ailleurs, @AndréC, le lien que tu donnes utilises la même méthode que moi pour les décimaux: on rend le diviseur entier (et lui seul), et on place la virgule au quotient en abaissant les dixièmes. Il me semble que c'est la méthode la plus classique.  

Pour en revenir à mon propos, si on enseignait la division en oubliant le pont et en commençant le quotient par des zéros inutiles, on n'aurait moins de problème pour la division décimale: il suffirait de faire la même chose que pour la division euclidienne en mettant la virgule en abaissant les dixièmes. Le méthode américaine (dite long division) montrée dans la vidéo ci-dessus présente cet avantage sur la notre, en faisant correspondre les rangs du dividende et du quotient.

On pourrait ensuite commencer au premier chiffre qui n'est pas un zéro inutile, en amélioration lorsque la méthode est bien maîtrisée.

JPhMM a écrit:

ycombe a écrit:

JPhMM a écrit:La virgule du dividende pose problème aux élèves ?
Ici, seule la virgule du diviseur leur pose problème, ce qui est un problème "normal".

Parce qu'avec la virgule (au dividende), on obtient ça directement.

Je sais bien, c'est bien comme cela que je le fais, et l'enseigne.

Mes excuses, je me suis trompé dans la citation. C'est à @ben2510 que je répondais, voir mon édition du message ci-dessus.

Je suis bien d'accord que diviser un décimal par un entier ne nécessite pas de déplacement de virgule.

Ma proposition se plaçait dans le contexte où on aurait voulu se ramener à une division entière ; disons p.ex qu'on veut 10 CS dans le quotient,
on écrit 11945 = 47 * 254,1489361 + 0,0000033
puis 1,1945 = 47 * 0.02541489361 + 0,00000000033

Pas très utile, tout ça !

ycombe a écrit:
Et on place la virgule à ce zéro. Ça ne fait pas une grande différence avec l'idée de "mettre le pont" en l'arrêtant à la virgule et commencer donc par un zéro, en plaçant la virgule au quotient au même endroit qu'au diviseur (aka quand on abaisse le chiffre des dixièmes, on place la virgule au quotient).

D'ailleurs, @AndréC, le lien que tu donnes utilises la même méthode que moi pour les décimaux: on rend le diviseur entier (et lui seul), et on place la virgule au quotient en abaissant les dixièmes. Il me semble que c'est la méthode la plus classique.  

C'est bien parce qu'il existe plusieurs façons de faire que je laisse les élèves faire de la façon qui leur est la plus simple.

Je reviens à une division d'entier uniquement pour les élèves pour lesquels cela leur est plus facile à faire..

Quant au classicisme des méthodes, d'après ce que j'ai pu lire sur le net lorsque j'ai cherché les méthodes de l'école des années 60, elle n'est pas plus classique que les autres, il y a eu différentes techniques expliquées selon les périodes.

Au 17e siècle, on faisait différemment.

Quand je dis classique, je veux dire enseignée en classe, plutôt depuis la 3e république donc.

La méthode de division que j'indique dans le poly se trouve déjà dans un livre d'arithmétique de 1852 (voir ici §53 p 33: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k921550v/f43.image.r=Cirode%20arithm%C3%A9tique).

Division à la française au 17e siècle :http://jean-luc.bregeon.pagesperso-orange.fr/Page%200-3.htm

Elle n'était pas posée avec une potence !

AndréC a écrit:Division à la française au 17e siècle :http://jean-luc.bregeon.pagesperso-orange.fr/Page%200-3.htm

Elle n'était pas posée avec une potence !

Il me semble qu'il s'agit de la méthode Galley, abandonnée à la révolution au profit de celle en potence.
http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_n/fic/57/57n4.pdf
http://www-irem.ujf-grenoble.fr/spip/squelettes/fic_N.php?num=58&rang=5

Volubilys a écrit:Désolée d'être une si mauvaise maîtresse.
  

Votre façon de faire était celle expliquée par Guy Brousseau dans ses leçons de pédagogie :
http://guy-brousseau.com/wp-content/uploads/2012/10/77-6-li%C3%A9.pdf.

Autre technique lorsque le dividende est décimal, faire comme s'il était entier...puis placer la virgule (Vitte 1924)

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9480759/f74.item.r=arithmétique%20%20cours%20élémentaire.zoom

AndréC a écrit:

Volubilys a écrit:Désolée d'être une si mauvaise maîtresse.
  

Votre façon de faire était celle expliquée par Guy Brousseau dans ses leçons de pédagogie :
http://guy-brousseau.com/wp-content/uploads/2012/10/77-6-li%C3%A9.pdf.

No comment.