Re: "Expliquer" la division par zéro ?

par verdurin Mer 7 Jan 2015 - 0:01

ycombe a écrit:
Là, on va tourner en rond.

C'est clair. Et si on veut encore plus rire on regarde la droite projective complexe. On vit sur une surface homotope, en gros.

par Cathy Linton Mer 7 Jan 2015 - 7:56

kero a écrit:C'est beau les maths, quand même. Une sorte de monde à part, à la fois logique et mystérieux.

Voilà. Je retourne préparer mon cours sur la répartition de la population mondiale.

Comme disait Russell (qui, entre autres talents, était mathématicien) les mathématiques sont le domaine où l'on ne sait jamais de quoi on parle ni si ce qu'on en dit est vrai !

par ycombe Mer 7 Jan 2015 - 8:11

Cathy Linton a écrit:

kero a écrit:C'est beau les maths, quand même. Une sorte de monde à part, à la fois logique et mystérieux.

Voilà. Je retourne préparer mon cours sur la répartition de la population mondiale.

Comme disait Russell (qui, entre autres talents, était mathématicien) les mathématiques sont le domaine où l'on ne sait jamais de quoi on parle ni si ce qu'on en dit est vrai !

Ah Russel! Merci de la citation pour éclairer la journée. D'ailleurs, je vais aller me refaire un thé.

par mimielaclasse Jeu 15 Jan 2015 - 22:20

Bonsoir,
en lisant ce poste, je me dit qu'on se complique bien la vie. Je suis en primaire en CM.
Pour ma part, je rappellerai juste que toute division implique une notin de partage. Et qu'on ne partage pas avec 0 personne.
Donc on ne divise jamais par 0
12:0 ou 12/0 n’existent pas.

par verdurin Sam 17 Jan 2015 - 23:56

Bonsoir mimielaclasse.

mimielaclasse a écrit:Bonsoir,
en lisant ce poste, je me dit qu'on se complique bien la vie. Je suis en primaire en CM.
Pour ma part, je rappellerai juste que toute division implique une notin de partage. Et qu'on ne partage pas avec 0 personne.
Donc on ne divise jamais par 0
12:0 ou 12/0 n’existent pas.

Mathématiquement, la division n'a rien à voir avec la notion de partage, même si cela peut-être utile pour l'enseignement.
Il faut être conscient du fait que 12/0,5 a un sens, alors que partager quelque chose en 0,5 partie n'en a pas beaucoup.

Diviser c'est juste multiplier par l'inverse. Pour continuer sur mon exemple, comme 2x0,5=1 diviser par 0,5 c'est multiplier par 2.

On peut penser que les mathématiques abusent du rasoir d'Occam.
Mais c'est ce que j'aime.

par JPhMM Dim 18 Jan 2015 - 3:13

Moonchild a écrit:

Igniatius a écrit:

kero a écrit:

Réflexion d'un profane.

Dire que la question n'est pas d'interdire cette division, mais plutôt que cette division n'a pas de résultat (ou simplement que c'est impossible), ne serait-ce une manière de mettre tout le monde d'accord - d'une manière par ailleurs cohérente ?

C'est cela : la division par zéro supposerait que 0 admet un inverse pour la multiplication.
Or, c'est impossible.
Donc la division par zéro n'est pas possible.

Ben en fait si, c'est possible ; mais alors ça limite un peu le champ d'activité des mathématiques.
Supposons que, tout en conservant les propriétés usuelles de la multiplication et de l'addition, le nombre 0 admette un inverse pour la multiplication et appelons-le z pour faire joli ; on a alors 0*z=1 par définition de l'inverse pour la multiplication que je note * pour ne pas la confondre avec la lettre x.
Maintenant pour n'importe quel nombre réel x, on a de manière évidente x=1*x par définition de 1 et comme 1=0*z (c'est écrit juste au-dessus), on en déduit que x=(0*z)*x et, par associativité de la multiplication, x=0*(z*x) ce qui donne finalement x=0 (puisque pour n'importe que nombre a, on trouve forcément 0*a=0 à moins de renoncer à la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition étant donné que 0*a=(1-1)*a=1*a-1*a=a-a=0 pour ceux qui en douteraient). Du coup n'importe quel nombre réel est nul.
Bref, ce fameux 0 a bel et bien le droit d'avoir un inverse par la multiplication sans même qu'on ait à se priver des sympathiques propriétés usuelles des opérations, mais pour cela il faut "simplement" que ce 0 soit seul au monde. C'est sûr qu'avec un ensemble de nombres réduit à un seul et unique élément, les maths seront beaucoup plus simples, mais on risque alors de ne pas aller bien loin.

Euh...

Si le seul nombre réel est nul, alors il y a paradoxe dans la définition 0*z=1 "Expliquer" la division par zéro ? - Page 3 3795679266

par Cathy Linton Dim 18 Jan 2015 - 8:52

mimielaclasse a écrit:Bonsoir,
en lisant ce poste, je me dit qu'on se complique bien la vie. Je suis en primaire en CM.
Pour ma part, je rappellerai juste que toute division implique une notin de partage. Et qu'on ne partage pas avec 0 personne.
Donc on ne divise jamais par 0
12:0 ou 12/0 n’existent pas.

Le "partage" est une notion religieuse, peut-être économique, mais certainement pas mathématique. Qu'est-ce que ça veut dire "partager" la circonférence d'un cercle en une quantité inexprimable de parts égales pour trouver son diamètre ?! Il y a, certes, une analogie entre la division euclidienne et le partage, dans la mesure où, dans les deux cas, on obtient un quotient et un reste. D'où la tentation pédagogique (d'ailleurs justifiée) d'en faire usage pour expliquer la technique opératoire de la division. Mais le rapprochement entre les notions de "division" et de "partage" ne va pas au-delà de l'analogie. On ne peut même pas définir la division comme un rapport entre deux grandeurs puisque, depuis la découvertes des irrationnels par les Grecs, il se peut que le dividende n'en soit pas une.

par Moonchild Dim 18 Jan 2015 - 11:28

mimielaclasse a écrit:Bonsoir,
en lisant ce poste, je me dit qu'on se complique bien la vie. Je suis en primaire en CM.
Pour ma part, je rappellerai juste que toute division implique une notion de partage. Et qu'on ne partage pas avec 0 personne.
Donc on ne divise jamais par 0
12:0 ou 12/0 n’existent pas.

Mais c'est un peu ambigu : on peut s'imaginer aussi que si on ne partage pas, alors ce qu'on ne partage pas reste identique à lui-même ; de ce point de vue, 12 non partagé resterait égal à 12.

JPhMM a écrit:Euh...

Si le seul nombre réel est nul, alors il y a paradoxe dans la définition 0*z=1

Pas vraiment, c'est juste que 1 et 0 étaient en fait deux noms différents du seul et unique nombre réel, que 0 était un usurpateur qui se faisait parfois passer pour 1. Evil or Very Mad

Et si on a décidé au départ que 0 et 1 sont vraiment distincts, alors obtenir l'égalité 0=1 est justement ce qui va permettre de conclure que 0 n'admet pas d'inverse grâce à un raisonnement par l'absurde.

par mimielaclasse Dim 18 Jan 2015 - 13:57

Effectivement, je suis restée sur un niveau de cycle 3...

par JPhMM Dim 18 Jan 2015 - 14:29

Moonchild a écrit:

JPhMM a écrit:Euh...

Si le seul nombre réel est nul, alors il y a paradoxe dans la définition 0*z=1

Pas vraiment, c'est juste que 1 et 0 étaient en fait deux noms différents du seul et unique nombre réel, que 0 était un usurpateur qui se faisait parfois passer pour 1.

Et si on a décidé au départ que 0 et 1 sont vraiment distincts, alors obtenir l'égalité 0=1 est justement ce qui va permettre de conclure que 0 n'admet pas d'inverse grâce à un raisonnement par l'absurde.

Voilà, précisément.

par pailleauquebec Dim 18 Jan 2015 - 18:18

J'aime bien d'abord parler de la division par un.

Celle-là c'est celle que tout le monde préfère.
Mille euros divisés par un ça fait mille euros.
Tout pour moi, rien pour les autres.

Ensuite on peut réfléchir à la division par zéro. J'ai donc mille euros à répartir sur zéro personne, un peu difficile, on comprend qu'il y a un problème.

par Haydens Dim 18 Jan 2015 - 19:11

oui oui, cette explication a été donnée 20 fois dans le topics et la meme réponse. On a 1000 / 0.5 donc 1000 a partager en 0.5 ? ca n'a pas de sens. La division n'est pas une notion de partage. Meme si cette explication explication est toujours bonne a donner.

par JPhMM Dim 18 Jan 2015 - 19:17

L'expression "partager quelque chose en" est elle-même interprétable de façons différentes.
En effet "partager un gâteau en trois", indique le nombre de parts (notons qu'il n'est pas dit ici qu'elles seraient d'égale quantité, problème supplémentaire).
"Partager un segment de longueur 4 centimètres en segments de longueur 0,5 centimètre", n'indique pas le nombre de parts.

Les deux interprétations correspondent, évidemment, à des notions mathématiques différentes (il suffit de considérer le partage d'un segment de longueur 4,3 centimètres en 3 parts, d'une part, et en segments de longueur 0,5 centimètre, d'autre part, pour s'en convaincre).

par Balthazaard Dim 18 Jan 2015 - 19:21

pailleauquebec a écrit:J'aime bien d'abord parler de la division par un.

Celle-là c'est celle que tout le monde préfère.
Mille euros divisés par un ça fait mille euros.
Tout pour moi, rien pour les autres.

Ensuite on peut réfléchir à la division par zéro. J'ai donc mille euros à répartir sur zéro personne, un peu difficile, on comprend qu'il y a un problème.

Que répondre à ceux qui disent "ben ça fait zéro".....zéro étant à la fois le nombre mais ,reconnaissons le aussi dans l'intuitif (et ici on veut faire de l'intuitif) , l'inexistant.....

par JPhMM Dim 18 Jan 2015 - 19:22

Le zéro n'est pas rien. professeur

:lol:

par Balthazaard Dim 18 Jan 2015 - 19:25

pour nous assurément non....comme le "vide" pour un physicien n'est pas "vide"...mais j'ai cru comprendre que l'on cherchait ici une approche intuitive

par JPhMM Dim 18 Jan 2015 - 19:28

Je n'en connais pas.

Un temps — quand j'avais 15 ans — la seule approche intuitive qui me semblait compréhensible, sans être juste mathématiquement, était qu'un inverse "explorable" de 0 serait l'ensemble de tous les nombres (ensemble réunion de tous les ensembles de nombres, d'ailleurs).

On m'argumentera que cet ensemble n'est pas un nombre, évidemment, mais je comprenais l'idée, qui me permettait d'intuitionner, disons, pourquoi c'est impossible.

par Balthazaard Dim 18 Jan 2015 - 20:20

Que l'on peut retrouver en "posant" la division si on en est capable, le quotient peut être n'importe quoi...et ça ne finit jamais

par JPhMM Dim 18 Jan 2015 - 20:21

Oui, exactement.

par Balthazaard Dim 18 Jan 2015 - 20:23

Perso c'est ce que je fais faire au tableau aux sceptiques..

par Moonchild Dim 18 Jan 2015 - 22:42

JPhMM a écrit:Je n'en connais pas.

Un temps — quand j'avais 15 ans — la seule approche intuitive qui me semblait compréhensible, sans être juste mathématiquement, était qu'un inverse "explorable" de 0 serait l'ensemble de tous les nombres (ensemble réunion de tous les ensembles de nombres, d'ailleurs).

Je crois que quand j'étais jeune, pour m'en convaincre, je devais avoir plus ou moins une approche intuitive basée sur les ordres de grandeur des résultats de la division de 1 par des nombres très proches de 0 ; du coup il me semblait logique que, s'il venait à exister, l'inverse de 0 devrait être infini et ne serait donc pas un nombre.

par JPhMM Lun 19 Jan 2015 - 7:13

Moonchild a écrit:s'il venait à exister, l'inverse de 0 devrait être infini et ne serait donc pas un nombre.

C'était sans compter sur Robinson.

par Cathy Linton Lun 19 Jan 2015 - 7:30

Moonchild a écrit:s'il venait à exister, l'inverse de 0 devrait être infini et ne serait donc pas un nombre.

Pourquoi ne serait-il pas un nombre ? Ce pourrait être un nombre transfini au sens de Cantor.

par Moonchild Lun 19 Jan 2015 - 14:51

Cathy Linton a écrit:

Moonchild a écrit:s'il venait à exister, l'inverse de 0 devrait être infini et ne serait donc pas un nombre.

Pourquoi ne serait-il pas un nombre ? Ce pourrait être un nombre transfini au sens de Cantor.

M'enfin je parlais de l'approche intuitive que j'en avais lorsque j'étais jeune ; désolé de ne pas voir pensé spontanément aux nombres transfinis de Cantor lorsque j'étais au collège.

Sinon, pour en revenir à la manière de mettre en évidence l'impossibilité de cette division par zéro, pourquoi ne pas tout bêtement tenter de poser cette division pour voir que ça ne marche quand même pas très bien ? (Bon d'accord, cela suppose de savoir poser des divisions et donc on s'adresse déjà à une élite).

par pailleauquebec Lun 19 Jan 2015 - 15:12

Oui, montrer que la division par 0.5 fait plus que le nombre de départ est déjà une notion intéressante.

Et inconnue de beaucoup d'élèves.

Mais cela peut très bien se relier à la notion de partage.

Par exemple partager 2 euros en pièces de 50 centimes, 0.5€, on obtient 4 pièces.

Partager 2 euros en pièces de 10 centimes ensuite, puis en pièces de 1 centimes.

on voit bien que plus on divise par un petit nombre plus on tend vers quelque chose de grand, tout en gardant le partage qui est la vision la plus concrète de la division.

Sinon poser la division par zéro au tableau est aussi une bonne idée à laquelle je n'avais pas pensé.

par User17706 Lun 19 Jan 2015 - 15:20

Moonchild a écrit: désolé de ne pas avoir pensé spontanément aux nombres transfinis de Cantor lorsque j'étais au collège.

Moonchild, vous me décevez énormément Very Happy